Добри Войников е роден на 22 ноември (10 ноември стар стил) 1833 година в Шумен в семейството на поп Васил Войников. Първоначално учи в родния си град при Сава Филаретов, Иван Богоров и Сава Доброплодни. Учи цигулка при унгарския емигрант Михай Шафран. Свири на флейта, китара и малко на пиано. От 1851 г. участва като цигулар в първия български оркестър, който е основан от Михай Шафран. Завършва френския колеж „Сен Беноа“ в Цариград (1856 – 1858). През целия си живот е учител – отначало в Шумен (1858 – 1864), където започва обществено-политическата си дейност като организатор на т.нар. „млади“ в черковната борба и като читалищен деец. Въвежда като учебни предмети на българска история и нотно пеене. Автор е на учебници по българска история, българска граматика и словесност, една христоматия, а през 1859 г. съставя ученически хор, изпълняващ двугласни, тригласни и четиригласни светски и духовни песни. Съставя и ръководи оркестър от 14 – 15 ученици и преподава частни уроци по цигулка, флейта и китара.

След напускането на Шафран на Шумен през 1861 г., Войников поема ръководството на оркестъра. Принуден да емигрира в Румъния, учителства в Браила (1864 – 1870) и в Гюргево (1871 – 1873).

През 1860 г. Добри Войников издава „Сборник от разни съчинения“, антология на френската литература, която предизвиква полемики в печата между франкофили и русофили. По-късно публикува „Кратка българска история“ (1861) и „Ръководство за словесност“ (1874), която е сочена за един от най-добрите образци на българската литературна теория от 1870-те години.

През зимата на 1865 г. Войников организира в Браила българска любителска театрална група с оркестър. Пише драми и комедии, както и музика за тях. Директор е на първоначалното българско училище в града, което успява да издигне в класно. В периода 1867 – 1870 г. издава вестник „Дунавска зора“. През 1869 г. става един от учредителите на Българското книжовно дружество (днешната Българска академия на науките). От 1870 до 1876 г. продължава театралната си дейност в Букурещ, Гюргево и Шумен, където се връща през 1874 г., след като приема руско поданство. По време на Руско-турската освободителна война (1877 – 1878) става управител на сиропиталище в Търново, където умира от тиф. Гробът му се намира в парк „Дружба“ във Велико Търново до гроба на Колю Фичето.